Series infinitas calculo integral

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Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estés en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

En este capítulo veremos las secuencias y las series (infinitas). De hecho, este capítulo tratará casi exclusivamente de series. Sin embargo, también necesitamos entender algunos de los fundamentos de las secuencias para poder tratar adecuadamente las series. Por lo tanto, también dedicaremos un poco de tiempo a las secuencias.

Las series son uno de esos temas que muchos estudiantes no encuentran tan útiles. Para ser honestos, muchos estudiantes nunca verán las series fuera de su clase de cálculo. Sin embargo, las series juegan un papel importante en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sin ellas no sería posible gran parte del campo de las ecuaciones diferenciales parciales.

integral de serie geométrica

En matemáticas, la prueba integral de convergencia es un método utilizado para comprobar la convergencia de series infinitas de términos monótonos. Fue desarrollado por Colin Maclaurin y Augustin-Louis Cauchy y a veces se conoce como la prueba de Maclaurin-Cauchy.

{\displaystyle \int _{1}^{M}} {\frac {1}{x^{1+\varepsilon }},dx=\left.- {\frac {1}{varepsilon x^{\varepsilon }}{{}}derecho}}|_{1}^{{M}}={\frac {1}{varepsilon }}left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}{{}derecho)} {\frac {1}{varepsilon }}<{infty} {{texto}{para todos}}{{{m}geq 1.}

para cada ε > 0, y si la serie correspondiente de la f(n) sigue siendo divergente. Una vez encontrada dicha serie, se puede plantear una pregunta similar con f(n) tomando el papel de 1/n, y así sucesivamente. De esta manera es posible investigar la frontera entre la divergencia y la convergencia de las series infinitas.

{{displaystyle -{frac {d}{dx}}{frac {1}{varepsilon (\ln _{k}(x))^{varepsilon }}={frac {1}(\ln _{k}(x))^{1+varepsilon }}{frac {d}{dx}}{ln _{k}(x)=\cdots ={frac {1}{xln(x)\cdots \ln _{k- 1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+{varepsilon}}, }

qué es la integral en el cálculo

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

El último tema que discutimos en la sección anterior fue la serie armónica. En esa discusión afirmamos que la serie armónica era una serie divergente. Ahora es el momento de demostrar esa afirmación. Esta prueba también nos permitirá iniciar el camino hacia la siguiente prueba de convergencia que veremos.

Empezaremos con un problema aparentemente no relacionado. Vamos a empezar preguntando cuál es el área bajo \ ~ (f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) en el intervalo \ ~ (\left[ {1,\infty } \right)\ ~). Desde la sección de Integrales Impropias sabemos que esto es así,

Entonces, ¿cómo nos ayuda eso a demostrar que la serie armónica diverge? Bien, recuerda que siempre podemos estimar el área dividiendo el intervalo en segmentos y luego dibujando en rectángulos y usando la suma del área de todos los rectángulos como una estimación del área real. Hagamos eso también para este problema y veamos qué obtenemos.

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Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Al igual que un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos). El número de elementos ordenados (posiblemente infinito) se denomina longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden es importante en una secuencia, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. En concreto, una secuencia puede definirse como una función cuyo dominio es un conjunto contable y totalmente ordenado, como los números naturales.

Los términos de una secuencia se suelen denotar con una sola variable, por ejemplo [latex]a_n[/latex], donde el índice [latex]n[/latex] indica el [latex]n[/latex]º elemento de la secuencia. La notación de indexación se utiliza para referirse a una secuencia en abstracto. También es una notación natural para las secuencias cuyos elementos están relacionados con el índice [latex]n[/latex] (la posición del elemento) de forma sencilla. Por ejemplo, la secuencia de los 10 primeros números cuadrados podría escribirse así:

Las secuencias se pueden indexar comenzando y terminando desde cualquier número entero. El símbolo del infinito, [latex]\infty[/latex], se utiliza a menudo como superíndice para representar la secuencia que incluye todos los valores enteros [latex]k[/latex]-que empiezan por uno determinado. La secuencia de todos los cuadrados positivos se denota entonces como: