Serie infinita calculo integral

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PREFACIOestá disponible, por cortesía del autor, como pdf gratuito. Para elaborar las respuestas a los distintos ejercicios o para obtener ayuda con los ejemplos o la visualización, puede resultarle muy útil el sitio web gratuito wolframalpha.com.Las referencias internas del texto tienen hipervínculos; basta con hacer clic en el enlace que aparece en el recuadro para ir al lugar correspondiente del libro de texto. Si ha activado los botones de avance y retroceso en su software de visualización de pdf, al hacer clic en el botón de retroceso volverá al punto de partida, antes de hacer clic en el hipervínculo.Algunos términos o nombres están anotados; estos están claramente marcados en los márgenes por pequeños globos azules. Ocasionalmente, al examinar las aproximaciones, escribimos un signo de igualdad entre comillas, como en =. Lo utilizamos para indicar que es igual en lo que respecta a una calculadora, es decir, igual a la precisión de muchas/muchas/todas las calculadoras.Esperamos sinceramente que el uso de nuestro moderno libro de texto multimedia sea tan agradable como lo puede ser el uso de un libro de texto de matemáticas.David B. MasseyAgosto 2009

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Hemos visto que una sucesión es un conjunto ordenado de términos. Si se suman estos términos, se obtiene una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo se relacionan las series con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Introducimos uno de los tipos más importantes de series: las series geométricas. En el próximo capítulo utilizaremos las series geométricas para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas utilizando polinomios que son más fáciles de manejar. También hablamos de la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no converge.
¿Pero qué significa esto? No podemos añadir un número infinito de términos de la misma manera que podemos añadir un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de las sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma

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Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Al igual que un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos). El número de elementos ordenados (posiblemente infinito) se denomina longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden es importante en una secuencia, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. En concreto, una secuencia puede definirse como una función cuyo dominio es un conjunto contable y totalmente ordenado, como los números naturales.
Los términos de una secuencia se suelen denotar con una sola variable, por ejemplo [latex]a_n[/latex], donde el índice [latex]n[/latex] indica el [latex]n[/latex]º elemento de la secuencia. La notación de indexación se utiliza para referirse a una secuencia en abstracto. También es una notación natural para las secuencias cuyos elementos están relacionados con el índice [latex]n[/latex] (la posición del elemento) de forma sencilla. Por ejemplo, la secuencia de los 10 primeros números cuadrados podría escribirse así:
Las secuencias se pueden indexar comenzando y terminando desde cualquier número entero. El símbolo del infinito, [latex]\infty[/latex], se utiliza a menudo como superíndice para representar la secuencia que incluye todos los valores enteros [latex]k[/latex]-que empiezan por uno determinado. La secuencia de todos los cuadrados positivos se denota entonces como:

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El tema de las series infinitas puede parecer ajeno al cálculo diferencial e integral. De hecho, una serie infinita cuyos términos implican potencias de una variable es una poderosa herramienta que podemos utilizar para expresar funciones como «polinomios infinitos». Podemos utilizar las series infinitas para evaluar funciones complicadas, aproximar integrales definidas y crear nuevas funciones. Además, las series infinitas se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el comportamiento físico, desde pequeños circuitos electrónicos hasta satélites en órbita terrestre.