Longitud de arco calculo vectorial

encontrar la longitud de la curva r(t)

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular también se denomina rectificación de una curva. El advenimiento del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.
Una curva en el plano puede aproximarse conectando un número finito de puntos de la curva mediante segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal. Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación puede encontrarse sumando las longitudes de cada segmento lineal; esa aproximación se conoce como distancia cordal (acumulativa)[1].
Si la curva no es ya una trayectoria poligonal, el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de longitudes menores dará lugar a mejores aproximaciones. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y podrán seguir aumentando indefinidamente, pero para las curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se hagan arbitrariamente pequeñas.

longitud de la curva r(t) calculadora

En una conversación normal describimos la posición en términos de tiempo y distancia. Por ejemplo, imagina que vas en coche a visitar a una amiga. Si te llama y te pregunta dónde estás, puedes responder «estoy a 20 minutos de tu casa» o puedes decir «estoy a 16 kilómetros de tu casa». Ambas respuestas proporcionan a tu amiga una idea general de dónde estás.
Actualmente, nuestras funciones vectoriales tienen puntos definidos con un parámetro t, que a menudo tomamos para representar el tiempo. Considere la figura 12.5.1(a), donde se grafica r→(t)=⟨t2-t,t2+t⟩ y se muestran los puntos correspondientes a t=0, 1 y 2. Nótese cómo la longitud del arco entre t=0 y t=1 es menor que la longitud del arco entre t=1 y t=2; si el parámetro t es el tiempo y r→ es la posición, podemos decir que la partícula viajó más rápido en [1,2] que en [0,1].
Consideremos ahora la figura 12.5.1(b), en la que la misma gráfica está parametrizada por una variable diferente s. Se trazan los puntos correspondientes a s=0 hasta s=6. La longitud de arco de la gráfica entre cada par de puntos adyacentes es 1. Podemos ver este parámetro s como una distancia; es decir, la longitud de arco de la gráfica de s=0 a s=3 es 3, la longitud de arco de s=2 a s=6 es 4, etc. Si uno quiere encontrar el punto a 2,5 unidades de una ubicación inicial (es decir, s=0), calcularía r→(2,5). Este parámetro s es muy útil, y se llama parámetro de longitud de arco.

calculadora de longitud de arco paramétrico

Si el intervalo es un rango, la función intenta determinar un nombre de variable adecuado utilizando los componentes de C. Para ello, comprueba todas las indeterminaciones de tipo nombre en los componentes de C y elimina las que se determinan como constantes.
Si el conjunto resultante tiene una sola entrada, esa entrada es el nombre de la variable.    Si tiene más de una entrada, se produce un error.    Si el intervalo es una ecuación, el lado izquierdo se utiliza como nombre del parámetro.
Si se especifica un atributo de sistema de coordenadas en C, se interpreta en ese sistema de coordenadas.    En caso contrario, la curva se interpreta como una curva en el sistema de coordenadas actual por defecto.    Si los dos no son compatibles, se produce un error.

hallar la longitud de la curva r(t)=i+t^2j+t^3k

En esta sección, estudiamos fórmulas relacionadas con las curvas tanto en dos como en tres dimensiones, y vemos cómo se relacionan con varias propiedades de la misma curva. Por ejemplo, supongamos que una función vectorial describe el movimiento de una partícula en el espacio. Queremos determinar la distancia que ha recorrido la partícula en un intervalo de tiempo determinado, que puede describirse mediante la longitud de arco de la trayectoria que sigue. O bien, supongamos que la función vectorial describe una carretera que estamos construyendo y queremos determinar la curvatura de la carretera en un punto determinado. Esto se describe mediante la curvatura de la función en ese punto. En esta sección exploramos cada uno de estos conceptos.
Hemos visto cómo una función vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Recordemos que la fórmula de la longitud de arco de una curva definida por las funciones paramétricas \(x=x(t),y=y(t),t_1≤t≤t_2\) viene dada por
De forma similar, si definimos una curva suave mediante una función de valor vectorial \(\vecs r(t)=f(t) \hat{mathbf{i}+g(t) \hat{mathbf{j}}), donde \(a≤t≤b\), la longitud de arco viene dada por la fórmula