Limites y continuidad calculo diferencial

La continuidad en el cálculo

En la sección 1.2, aprendimos cómo el concepto de límites puede utilizarse para estudiar la tendencia de una función cerca de un valor de entrada fijo. Al estudiar dichas tendencias, nos interesa fundamentalmente saber cómo se comporta la función en el punto dado, digamos \(x = a\). En la presente sección, pretendemos ampliar nuestra perspectiva y desarrollar un lenguaje y una comprensión para cuantificar cómo actúa la función y cómo cambia su valor cerca de un punto concreto. Además de pensar en si la función tiene o no un límite \(L\) en \(x = a\), también consideraremos el valor de la función \(f (a)\) y cómo este valor está relacionado con \(lim_{x→a} f (x)\), así como si la función tiene o no una derivada \(f ‘(a)\) en el punto de interés. A lo largo de este trabajo, nos basaremos y formalizaremos ideas que hemos encontrado en varios escenarios.

Una función \(f\) definida en \(-4 < x < 4\) viene dada por la gráfica de la figura 1.7.1. Utiliza la gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas. Nota: a la derecha de \(x = 2\), la gráfica de \(f\) exhibe un comportamiento oscilatorio infinito, similar a la función \(\sin( \frac{π}{ x })\) que encontramos en el ejemplo clave al principio de la sección 1.2.

Fórmulas de límite y continuidad

En matemáticas, un límite es el valor al que se aproxima una función (o secuencia) a medida que la entrada (o índice) se acerca a algún valor[1] Los límites son esenciales para el cálculo y el análisis matemático, y se utilizan para definir la continuidad, las derivadas y las integrales.

Augustin-Louis Cauchy en 1821,[5] seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) del límite. La definición utiliza ε (la letra griega minúscula épsilon)[3] para representar cualquier número positivo pequeño, de modo que «f(x) se acerca arbitrariamente a L» significa que f(x) se encuentra finalmente en el intervalo (L – ε, L + ε), que también puede escribirse utilizando el signo de valor absoluto como |f(x) – L| < ε. [5] La frase «a medida que x se acerca a c» indica entonces que nos referimos a valores de x cuya distancia a c es menor que algún número positivo δ (la letra griega delta en minúscula), es decir, valores de x dentro de (c – δ, c) o (c, c + δ), lo que puede expresarse con 0 < |x – c| < δ. La primera desigualdad significa que la distancia entre x y c es mayor que 0 y que x ≠ c, mientras que la segunda indica que x está dentro de la distancia δ de c.[5]

Notas de límites y continuidad pdf

Ya hemos examinado las funciones de más de una variable y hemos visto cómo graficarlas. En esta sección vemos cómo tomar el límite de una función de más de una variable y qué significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que no se dan con las funciones de una variable.

Antes de poder adaptar esta definición para definir un límite de una función de dos variables, tenemos que ver primero cómo extender la idea de un intervalo abierto en una variable a un intervalo abierto en dos variables.

La idea de disco aparece en la definición de límite de una función de dos variables. Si es pequeño, entonces todos los puntos del disco están cerca de Esto es completamente análogo a estar cerca de en la definición de un límite de una función de una variable. En una dimensión, expresamos esta restricción como

si para cada uno de ellos existe un valor lo suficientemente pequeño como para que para todos los puntos de un disco alrededor, excepto posiblemente para sí mismo, el valor de no está más que lejos de ((Figura)). Usando símbolos, escribimos lo siguiente: Para cualquier existe un número tal que

Derivada

Kathryn ha enseñado matemáticas en la escuela secundaria o en la universidad durante más de 10 años. Tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de Wisconsin-Milwaukee, un máster en Matemáticas por la Universidad Estatal de Florida y una licenciatura en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin-Madison.

Graficar funciones puede ser tedioso y, para algunas funciones, imposible. El cálculo nos ofrece una forma de comprobar la continuidad utilizando los límites. Aprende sobre la continuidad en el cálculo y ve ejemplos de pruebas de continuidad tanto en gráficas como en ecuaciones.

Función continuaEn el nivel básico, los profesores tienden a describir las funciones continuas como aquellas cuyas gráficas se pueden trazar sin levantar el lápiz. Aunque generalmente es cierto que las funciones continuas tienen tales gráficas, ésta no es una manera muy precisa o práctica de definir la continuidad. Muchas gráficas y funciones son continuas, o conectadas, en algunos lugares, y discontinuas, o rotas, en otros. Incluso hay funciones que contienen demasiadas variables para ser graficadas a mano. Por lo tanto, es necesario contar con una definición más precisa de continuidad, que no dependa de nuestra capacidad para graficar y trazar una función.