Formulario de calculo diferencial e integral

integral

En matemáticas, el cálculo diferencial es un subcampo del cálculo que estudia las tasas de cambio de las cantidades[1]. Es una de las dos divisiones tradicionales del cálculo, la otra es el cálculo integral, el estudio del área bajo una curva[2].

Los principales objetos de estudio del cálculo diferencial son la derivada de una función, nociones relacionadas como la diferencial y sus aplicaciones. La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la tasa de cambio de la función cerca de ese valor de entrada. El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación. Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, siempre que la derivada exista y esté definida en ese punto. Para una función de valor real de una sola variable real, la derivada de una función en un punto determina generalmente la mejor aproximación lineal a la función en ese punto.

La derivación tiene aplicaciones en casi todas las disciplinas cuantitativas. En física, la derivada del desplazamiento de un cuerpo en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del cuerpo, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. La derivada del momento de un cuerpo con respecto al tiempo es igual a la fuerza aplicada al cuerpo; reordenando este enunciado de la derivada se obtiene la famosa ecuación F = ma asociada a la segunda ley del movimiento de Newton. La velocidad de una reacción química es una derivada. En la investigación de operaciones, las derivadas determinan las formas más eficientes de transportar materiales y diseñar fábricas.

integral de superficie

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el cálculo tensorial, las formas diferenciales son una aproximación al cálculo multivariable que es independiente de las coordenadas. Las formas diferenciales proporcionan un enfoque unificado para definir integradas sobre curvas, superficies, sólidos y variedades de mayor dimensión. La noción moderna de formas diferenciales fue impulsada por Élie Cartan. Tiene muchas aplicaciones, especialmente en geometría, topología y física.

El símbolo ∧ denota el producto exterior, a veces llamado producto cuña, de dos formas diferenciales. Asimismo, una forma 3 f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz representa un elemento de volumen que puede integrarse sobre una región orientada del espacio. En general, una forma-k es un objeto que puede integrarse sobre una variedad orientada de k dimensiones, y es homogénea de grado k en las diferenciales de coordenadas.

El álgebra de las formas diferenciales está organizada de manera que refleja naturalmente la orientación del dominio de integración. Existe una operación d sobre las formas diferenciales conocida como la derivada exterior que, cuando se da una forma k como entrada, produce una forma (k + 1) como salida. Esta operación extiende la diferencial de una función, y está directamente relacionada con la divergencia y el rizo de un campo vectorial de una manera que hace que el teorema fundamental del cálculo, el teorema de la divergencia, el teorema de Green y el teorema de Stokes sean casos especiales del mismo resultado general, conocido en este contexto también como teorema de Stokes generalizado. De manera más profunda, este teorema relaciona la topología del dominio de integración con la estructura de las propias formas diferenciales; la conexión precisa se conoce como teorema de de Rham.

función continua

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el cálculo tensorial, las formas diferenciales son una aproximación al cálculo multivariable que es independiente de las coordenadas. Las formas diferenciales proporcionan un enfoque unificado para definir integradas sobre curvas, superficies, sólidos y variedades de mayor dimensión. La noción moderna de formas diferenciales fue impulsada por Élie Cartan. Tiene muchas aplicaciones, especialmente en geometría, topología y física.

El símbolo ∧ denota el producto exterior, a veces llamado producto cuña, de dos formas diferenciales. Asimismo, una forma 3 f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz representa un elemento de volumen que puede integrarse sobre una región orientada del espacio. En general, una forma-k es un objeto que puede integrarse sobre una variedad orientada de k dimensiones, y es homogénea de grado k en las diferenciales de coordenadas.

El álgebra de las formas diferenciales está organizada de manera que refleja naturalmente la orientación del dominio de integración. Existe una operación d sobre las formas diferenciales conocida como la derivada exterior que, cuando se da una forma k como entrada, produce una forma (k + 1) como salida. Esta operación extiende la diferencial de una función, y está directamente relacionada con la divergencia y el rizo de un campo vectorial de una manera que hace que el teorema fundamental del cálculo, el teorema de la divergencia, el teorema de Green y el teorema de Stokes sean casos especiales del mismo resultado general, conocido en este contexto también como teorema de Stokes generalizado. De manera más profunda, este teorema relaciona la topología del dominio de integración con la estructura de las propias formas diferenciales; la conexión precisa se conoce como teorema de de Rham.

apuntes de cálculo diferencial e integral

Operaciones de diferenciación parcial. Esto da :Esto da la tercera derivada:Puedes diferenciar con respecto a cualquier expresión que no implique operaciones matemáticas explícitas:D hace la diferenciación parcial. Supone aquí que y es independiente de x:Si efectivamente y depende de x, puedes utilizar la forma funcional explícita y[x]. «La representación de las derivadas» describe cómo funcionan los objetos como y'[x]:En lugar de dar una función explícita y[x], puedes decirle a D que y depende implícitamente de x. D[y,x,NonConstants->{y}] representa entonces , con y dependiendo implícitamente de x:

He aquí un ejemplo más sutil, que implica cortes de rama en lugar de polos:Tomando límites en la integral indefinida se obtiene 0:La integral definida, sin embargo, da el resultado correcto que depende de . La suposición asegura la convergencia:

El valor principal de Cauchy, sin embargo, es finito:Cuando los parámetros aparecen en una integral indefinida, esencialmente siempre es posible obtener resultados que son correctos para casi todos los valores de estos parámetros. Pero en el caso de las integrales definidas esto ya no es así. El problema más común es que una integral definida puede converger sólo cuando los parámetros que aparecen en ella satisfacen ciertas condiciones específicas. Esta integral indefinida es correcta para todos :Para la integral definida, sin embargo, debe satisfacer una condición para que la integral sea convergente:Si se sustituye por 2, la condición se satisface: