Calculo de limites por sustitucion

Cuándo se puede utilizar la sustitución directa de los límites

¿Cuál es un conjunto razonable de propiedades que faltan para cada uno de estos teoremas? (Puedo averiguar las propiedades exactas con bastante facilidad repasando las definiciones, pero no parecen ser muy útiles/comprobables).
Reconozco que no es una cuestión estrictamente matemática. Pero mi objetivo es llegar a un «teorema del estudiante de cálculo», uno que diga «si estás tratando de resolver un límite, que puede o no existir, entonces está bien hacer sustituciones de este tipo en el camino», y que cubrirá la gran mayoría de los problemas que podrían encontrar en un libro de cálculo estándar, o incluso en el libro de Spivak.
Me encantaría que cualquier condición lo suficientemente buena fuera ampliamente útil. En particular, creo que es completamente razonable exigir, por ejemplo, que la «función de sustitución» $g$ sea continua, y tal vez incluso diferenciable (aunque dudo que sea de mucha utilidad).

Ejemplo de límites por sustitución directa

Como en el título, me preguntaba si es correcto, y cuándo, calcular un límite en tres dimensiones mediante una sustitución que lo «reduzca a dos dimensiones». Voy a explicar lo que quiero decir de una manera más clara a través de un ejemplo. Yo estaba calculando este límite:
Además, si lo es… ¿me está permitido sustituir una expresión con su límite dentro de un límite, como mientras se calcula el límite, o sólo puedo tomar los límites en un último paso (estoy un poco confundido con este ejercicio en general, lo he resuelto con series de Taylor pero tengo curiosidad por saber si esto también funciona)?

Calculadora de sustitución directa

Encontrar los límites para la gran mayoría de los puntos de una función dada es tan sencillo como sustituir el número al que se aproxima x en la función. Dado que esto convierte la evaluación de los límites en una sustitución a nivel de álgebra, la mayoría de las preguntas sobre límites se centran en los casos en los que la sustitución no funciona. ¿Cómo puedes decidir si la sustitución es una herramienta analítica apropiada para encontrar un límite?
Encontrar un límite analíticamente significa encontrar el límite utilizando medios algebraicos. Para evaluar muchos límites, puedes sustituir el valor al que se acerca x en la función y evaluar el resultado. Esto funciona perfectamente cuando no hay agujeros o asíntotas en ese valor particular de x. Puedes estar seguro de que este método funciona siempre que no acabes dividiendo por cero al sustituir.
Ocasionalmente habrá un agujero en x=a. El límite en este caso es la altura de la función si el agujero no existiera. En otras palabras, si la función es una expresión racional con factores que se pueden cancelar, cancela el término algebraicamente y luego sustituye en la expresión resultante. Si no se pueden cancelar factores, puede ser que el límite no exista en ese punto debido a las asíntotas.

Límite de sustituciones en el fútbol

Al final de esta clase, deberías ser capaz de reconocer qué expresiones indefinidas son determinadas y cuáles son indeterminadas, y deberías ser capaz de utilizar este conocimiento para resolver problemas de límites reescribiéndolos algebraicamente hasta obtener una forma determinada. En particular, debes ser capaz de encontrar límites en el infinito y determinar cuándo no existen los límites (y cuando no existen, explicar por qué). También deberías ser capaz de utilizar correctamente la notación de límites.
Recuerda que en álgebra a veces tenemos expresiones que son indefinidas. Una expresión indefinida es aquella que no tiene un valor claro – por ejemplo, si pudiéramos demostrar que una expresión tiene dos valores diferentes, entonces esa expresión sería indefinida porque no permitimos que las expresiones sean iguales a dos cosas diferentes a la vez (¡porque esto llevaría a contradicciones locas como 2=5!).
Otra razón por la que una expresión podría ser indefinida, es porque es indefinida con respecto al conjunto de números con los que estamos trabajando actualmente. Por ejemplo, si sólo trabajamos con el conjunto de los números reales, cualquier expresión que nos dé como respuesta un número imaginario o complejo será indefinida en el conjunto de los números reales. No siempre decimos muy explícitamente bajo qué conjunto de números estamos trabajando, pero durante esta clase, sólo veremos números reales (fíjate que en nuestras gráficas, no hay forma de graficar un número imaginario o complejo).