Calculo de areas con integrales ejercicios resueltos pdf

calculadora de área delimitada por curvas

Anteriormente, estudiamos el concepto de integrales dobles y examinamos las herramientas necesarias para calcularlas. Hemos aprendido técnicas y propiedades para integrar funciones de dos variables sobre regiones rectangulares. También discutimos varias aplicaciones, como encontrar el volumen delimitado por una función sobre una región rectangular, encontrar el área por integración y calcular el valor medio de una función de dos variables.
En esta sección consideramos integrales dobles de funciones definidas sobre una región general acotada \(D\) en el plano. La mayor parte de los resultados anteriores también son válidos en esta situación, pero es necesario ampliar algunas técnicas para cubrir este caso más general.
Un ejemplo de una región general acotada \(D\) en un plano se muestra en la Figura \(\PageIndex{1}\). Dado que \(D\) está acotada en el plano, debe existir una región rectangular \(R\) en el mismo plano que encierre la región \(D\) es decir, existe una región rectangular \(R\) tal que \(D\) es un subconjunto de \(R (D \subseteq R)\N.)
Figura \(\PageIndex{1}\N-): Para una región \(D\) que es un subconjunto de \(R\), podemos definir una función \(g(x,y)\) igual a \(f(x,y)\) en cada punto de \(D\) y \(0\) en cada punto de \(R\) que no está en \(D\).

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El cálculo, originalmente llamado cálculo infinitesimal o «cálculo de los infinitesimales», es el estudio matemático del cambio continuo, del mismo modo que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas.
Tiene dos ramas principales, el cálculo diferencial y el cálculo integral; el primero se ocupa de las tasas de cambio instantáneas y de las pendientes de las curvas, mientras que el cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y de las áreas bajo o entre curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo, y utilizan las nociones fundamentales de convergencia de secuencias infinitas y series infinitas a un límite bien definido[1].
El cálculo infinitesimal fue desarrollado de forma independiente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.[2][3] En la actualidad, el cálculo tiene un amplio uso en la ciencia, la ingeniería y la economía[4].
En la enseñanza de las matemáticas, el cálculo designa los cursos de análisis matemático elemental, dedicados principalmente al estudio de las funciones y los límites. La palabra cálculo (plural calculi) es una palabra latina, que significa originalmente «guijarro pequeño» (este significado se mantiene en medicina – véase Cálculo (medicina)). Dado que estos guijarros se utilizaban para contar (o medir) la distancia recorrida por los aparatos de transporte que se utilizaban en la antigua Roma,[5] el significado de la palabra ha evolucionado y hoy suele significar un método de cálculo. Por tanto, se utiliza para nombrar métodos específicos de cálculo y teorías relacionadas, como el cálculo proposicional, el cálculo de Ricci, el cálculo de variaciones, el cálculo lambda y el cálculo de procesos.

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En Integrales dobles sobre regiones rectangulares, estudiamos el concepto de integrales dobles y examinamos las herramientas necesarias para calcularlas. Aprendimos técnicas y propiedades para integrar funciones de dos variables sobre regiones rectangulares. También discutimos varias aplicaciones, como encontrar el volumen delimitado por una función sobre una región rectangular, encontrar el área por integración y calcular el valor medio de una función de dos variables.
En esta sección consideramos las integrales dobles de funciones definidas sobre una región general acotada DD en el plano. La mayor parte de los resultados anteriores también son válidos en esta situación, pero es necesario ampliar algunas técnicas para cubrir este caso más general.
En la figura 5.12 se muestra un ejemplo de región general acotada DD en el plano. Como DD está acotada en el plano, debe existir una región rectangular RR en el mismo plano que encierre la región D,D, es decir, existe una región rectangular RR tal que DD es un subconjunto de R(D⊆R).R(D⊆R).
Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) está definida en una región general plana acotada DD como la de la figura 5.12. Para desarrollar integrales dobles de ff sobre D,D, extendemos la definición de la función para incluir todos los puntos de la región rectangular RR y luego utilizamos los conceptos y herramientas de la sección anterior. Pero, ¿cómo extendemos la definición de ff para incluir todos los puntos de R?R? Lo hacemos definiendo una nueva función g(x,y)g(x,y) en RR como sigue:

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Supongamos que tenemos una lámina que ocupa una región \(R\) en el plano \(xy\) y que está hecha de un material no homogéneo. Su densidad en un punto \(\left( {x,y} \right)\Nde la región \(R\) es \rho \left( {x,y} \right).\N-. La masa total de la lámina se expresa a través de la integral doble como sigue:
Cuando la densidad de masa de la lámina es \(\rho \left( {x,y} \right) = 1\) para todo \(\left( {x,y} \right)\) en la región \(R,\) el centro de masa se define sólo por la forma de la región y se llama el centroide de \(R.\)
Supongamos que la carga eléctrica está distribuida en una región que tiene un área \(R\) en el plano \(xy\)-y su densidad de carga está definida por la función \({\sigma \left( {x,y} \right)}.\N-) Entonces la carga total \(Q\) de la placa se define por la expresión
Damos aquí la fórmula para el cálculo del valor medio de una función distribuida. Sea \({f \left( {x,y} \right)}) una función continua sobre una región cerrada \(R\) en el plano \(xy\)-. El valor medio \mu de la función \f izquierda ((x,y) derecha) en la región \ R está dado por la fórmula