Calculadora series de taylor

calculadora de series de taylor con pasos

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fórmula de la serie de taylor

La serie de Taylor se utiliza en cálculo para representar una función suave en la vecindad de un punto mediante una serie de potencias que es el límite de los polinomios de Taylor. Esta expansión de la serie se llama expansión de Taylor. La serie y el desarrollo llevan el nombre del matemático británico Brook Taylor.
Con la calculadora se puede realizar una expansión en serie de Taylor sobre una función. El punto alrededor del cual se desarrolla el polinomio se puede mover en la gráfica. El recálculo se realiza tras seleccionar el botón «Actualizar». En la definición de la función se pueden utilizar los parámetros a, b y c y variarlos mediante los deslizadores.

calculadora de series de maclaurin wolfram

Una serie de Taylor nos proporciona una aproximación polinómica de una función centrada en el punto a. Dado que el comportamiento de los polinomios puede ser más fácil de entender que el de funciones como sen(x), podemos utilizar una serie de Taylor para ayudarnos a resolver ecuaciones diferenciales, sumas infinitas y problemas de física avanzada. Una serie de Taylor infinita de una función representa esa función. Sin embargo, una serie de Taylor finita es sólo una aproximación de la función, donde la exactitud con la que la serie de Taylor representa la función está positivamente correlacionada con el número de términos de la serie de Taylor. El número de términos de la serie de Taylor está directamente relacionado con el grado de la serie de Taylor. El grado de la serie de Taylor es el valor máximo de n escrito en la notación sigma. El número de términos de la serie es n + 1 ya que el primer término se crea con n = 0. La mayor potencia del polinomio es n = n.
La fórmula para calcular una serie de Taylor para una función se da como:Donde n es el orden, f(n)(a) es la derivada de orden n de f(x) evaluada en x = a, y a es donde se centra la serie. La serie será más precisa cerca del punto de centrado.Como podemos ver, una serie de Taylor puede ser infinitamente larga si así lo elegimos, pero también podemos elegir que nuestra serie tenga tantos o pocos términos/precisión como queramos. Podemos establecer un valor máximo de n para que sea una serie de Taylor de orden n.

serie taylor

¡Hay muchas maneras diferentes de pensar en esto, aunque probablemente la forma más simple y más común es utilizar la desigualdad #|R_{k}(x)|\leq \frac{M\cdot r^{k+1}{(k+1)! donde la derivada #(k+1)#de #f^(k+1)}(x)# de #f# satisface #|f^(k+1)}(x)|leq M# en el intervalo #[c-r,c+r]# (suponiendo suficiente diferenciabilidad/suavidad de #f# en el intervalo).
La función #R_{k}(x)# es el «término resto» y se define como #R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x)#, donde #P_{k}(x)# es el polinomio de Taylor de grado #k# de #f# centrado en #x=a#: #P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f»(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f»'(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots#.
Por ejemplo, si #f(x)=e^(x)#, #a=0#, y #k=4#, obtenemos #P_{4}(x)=1+x+\frac{x^{2}{2}+\frac{x^{3}{6}+\frac{x^{4}{24}#. Además, si consideramos esto sobre el intervalo #[-2,2]# de modo que #r=2#, entonces la desigualdad anterior se convierte en #|R_{4}(x)|leq \frac{e^{2}\cdot 2^{5}{5!}=\frac{4}{15}e^{2}\prox 1,97#. Así que podemos esperar que #P_{4}(x)# se aproxime a #e^(x)# dentro de esta cantidad en el intervalo #[-2,2]# (en realidad, la aproximación es incluso mejor que el límite de error da … el punto es que el límite de error da una garantía).