2.5 calculo de la inversa de una matriz

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Presentación del tema: «2.5 El método de Gauss-Jordan para el cálculo de las inversas Encontrar las inversas Cuando la matriz es de 2 x 2, la inversa es fácil de encontrar usando el determinante. ¿Qué?» – Transcripción de la presentación:

2.5 El método de Gauss-Jordan para el cálculo de las inversiones Encontrar las inversiones Cuando la matriz es de 2 x 2, la inversa es fácil de encontrar utilizando el determinante. ¿Qué pasa si se necesita encontrar la inversa de una matriz cuadrada más grande? Es entonces cuando hay que realizar G-J con la matriz original y la matriz identidad al lado. Cómo funciona esto… Se configura el proceso para que se vea así: Luego se hacen manipulaciones de filas hasta que se vea como: ¿Cuál es la inversa de una matriz inversa?

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Esta guía de supervivencia del libro de texto fue creada para el libro de texto Introducción al Álgebra Lineal, edición: 4. Esta amplia guía de supervivencia del libro de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones. Introducción al Álgebra Lineal fue escrito por y está asociado al ISBN: 9780980232714. Desde que se respondieron 46 problemas del capítulo 2.5: Matrices Inversas, más de 29862 estudiantes han visto las soluciones completas paso a paso de este capítulo. El capítulo 2.5: Matrices inversas incluye 46 soluciones completas paso a paso.

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Funciona cuando la matriz no es demasiado grande. He comprobado que para matrices de hasta un tamaño de 12×12 el resultado se proporciona rápidamente. Sin embargo, cuando la matriz es mayor de 12×12 el tiempo que necesita para completar el cálculo aumenta exponencialmente.

El cálculo del determinante mediante cálculos recursivos es algo numéricamente obsceno. Resulta que una mejor opción es utilizar una factorización LU para calcular el determinante. Pero, si te vas a molestar en calcular los factores LU, entonces ¿por qué querrías calcular la inversa? Ya has hecho el trabajo difícil al calcular los factores LU.

Tu algoritmo para calcular un determinante es efectivamente exponencial. El problema básico es que estás calculando a partir de la definición, y la definición directa conduce a una cantidad exponencial de subdeterminantes a calcular. Realmente necesitas transformar la matriz primero antes de calcular su determinante o su inversa. (He pensado en explicar lo de la programación dinámica, pero este problema no se puede resolver mediante programación dinámica ya que el número de subproblemas es también exponencial).

calculadora de la inversa de una matriz de 3×3

No se puede hacer directamente, pero siempre se puede calcular, utilizando uno de los solucionadores dispersos. La idea es resolver A*X=I, donde I es la matriz identidad. Si hay solución, X será tu matriz inversa.

Una pequeña extensión sobre las respuestas de @Soheib y @MatthiasB, si estás usando Eigen::SparseMatrix<float> es mejor usar SparseLU en lugar de SimplicialLLT o SimplicialLDLT, me produjeron respuestas erróneas en matrices float

Ten en cuenta que la inversa de una matriz dispersa no es necesariamente dispersa, así que si estás trabajando con matrices grandes (lo que es probable, si estás usando representaciones dispersas) entonces esto va a ser costoso. Piensa bien si realmente necesitas la inversa de la matriz. Si vas a utilizar la inversa de la matriz para resolver un sistema de ecuaciones, entonces no necesitas calcular la inversa de la matriz y multiplicarla (utiliza el método típicamente llamado resolver y proporciona el lado derecho de la ecuación). Si necesita la inversa de la matriz de Fisher para las covarianzas, intente aproximarse.